Archivo | enero, 2012

Usando Wolfram Alpha en Análisis Matemático II

17 Ene

Estos días estoy concentrado en la preparación de la asignatura de Análisis Matemático II. Los exámenes de otros años se basan en la resolución de problemas, de los que uno suele ser sobre topología y los otros sobre clasificación de extremos de funciones o cálculo de máximos y mínimos condicionados por el método de Lagrange.

Para los problemas de análisis puro y duro (es decir, dejando los de topología de lado), Wolfram Alpha es una navaja suiza supervitaminada que puede ayudarte en multitud de frentes.

En el aspecto que nos ocupa, Wolfram Alpha es el equivalente online de programas de cálculo como el clásico Derive, MatLab o Mathematica, lo que te puede dar una idea de su potencia.

Visualizando gráficas de funciones

A veces a la hora de resolver de una problema, ser capaz de visualizar la forma -aunque sea de forma aproximada- de la función puede dar una pista de si vas bien o si estás patinando. Un caso típico es para saber si un punto crítico es máximo, mínimo o un punto silla.

Si introduces una función de la que se puede dibujar una gráfica (2D o 3D), Wolfram Alpha la dibujará por defecto. Si quieres especificar que lo que quieres es la gráfica, en caso de que no la dibuje por algún motivo, o si quieres especificar el rango de las variables, por ejemplo, utiliza la función plot.

Ej: Dibujar la función cos(2x-y)-sen(x-2y). Como puedes ver, he especificado el rango para x e y.

Aquí he realizado una captura de pantalla del centro de la página, pero cada una de las imágenes se puede descargar cómodamente a través de un enlace que aparece al pasar el puntero por la esquina inferior izquierda de la imagen. Esto es ideal para complementar unos apuntes o para presentar ejercicios resueltos en el foro.

Calculando máximos y mínimos (sin utilizar la imaginación)

El siguiente paso es hacer que Wolfram Alpha haga todo el trabajo sucio y que sea él mismo el que calcule los máximos o mínimos. Para ello, utilizamos las funciones “Maximize” o “Minimize“.

Ej: Encontrar máximos de la función cos(2x-y)-sen(x-2y).

Máximos y mínimos condicionados: multiplicadores de Lagrange

Éste es el último truco que he aprendido a utilizar en Wolfram Alpha: básicamente añades las funciones o funciones que describen la ligadura como un parámetro al comando “Minimize” o “Maximize“.

En general Wolfram Alpha es lo suficientemente listo como para interpretar lo que quieres calcular, pero siempre es mejor añadir paréntesis para evitarle confusiones.

Si es posible, Wolfram Alpha también muestra una representación gráfica de la función con la restricción sobre la gráfica, así como los puntos extremos.

Calculando derivadas

En los problemas en los que hay que encontrar y clasificar extremos de una función, es fácil equivocarse en algún momento del proceso de derivación…  Puedes hacer que Wolfram Alpha derive por ti y así comprobar si has cometido algún error, por ejemplo.

En el siguiente ejemplo he introducido: d/dx x^2+y^2-xy+14. Una vez que ha obtenido la derivada, he pulsado en enlace “Show steps“, en la esquina superior derecha, para hacer que Wolfram Alpha me muestre cómo ha calculado la derivada ¡¡paso a paso!!

A la práctica no utilizo mucho esta funcionalidad -que no siempre está disponible- pero que me parece simplemente brutal;  Wolfram Alpha puede servir de  profe de repaso particular (aunque necesitas saber inglés).

Sistemas de ecuaciones

Si introduces varias ecuaciones, separadas por comas, Wolfram Alpha interpreta que forman un sistema de ecuaciones e intenta solucionarlo.

Multiplicando matrices y calculando determinantes

Multiplicar matrices es aburrido. Mucho. Además, es fácil cometer errores. Lo mismo pasa con el cálculo de determinantes. De nuevo, Wolfram Alpha al rescate:

Como ves he introducido las matrices para que Wolfram Alpha las multiplique por mi, pero se ha animado y me ha calculado el determinante, la traza, la matriz inversa…

Si hubiera querido obtener únicamente el determinante, podría haberlo indicado mediante el comando Det[ ].

Quizás aquí deba destacar que introducir las matrices en Wolfram Alpha no sea lo más rápido ni cómodo del mundo, pero es que las matrices en general son así; ¿qué le vamos a hacer? Para indicar que se trata de una matriz, utiliza paréntesis (yo tengo la manía de utilizar “llaves”, pero es sólo eso, una manía). Cada fila debe ir encerrada en sus propios delimitadores. Los elementos dentro de una fila, así como las filas entre sí, van separadas por comas.

Ej: (1,2,3) es una matriz horizontal (un vector), de una fila y 3 columnas, mientras que ( (1) , (2), (3) ) es una matriz “vertical”, con 3 filas y una columna.

Wolfram Alpha también propociona enlaces a definiciones, por si en algún momento no tienes claro algún término.

Pero lo mejor es que todo ésto es sólo la punta del iceberg; sin duda Wolfram Alpha puede utilizarse como mucho más que una calculadora online. Así que lánzate y busca nuevas maneras de sacarle partido y facilitarte el trabajo de estudiar. Y si tienes alguna receta más, no dudes en compartirla en los comentarios.

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